傅里叶级数的数学基础
什么是周期函数？
周期函数就像每天重复的日出日落，每隔固定时间就会重复自己：
\( f(t + T) = f(t) \)
其中 \( T \) 是函数的周期 - 重复一次所需的时间。
生活实例：
- 心跳：大约每0.8秒重复一次（周期T=0.8秒）
- 季节变化：每年重复一次（周期T=1年）
- 交流电：家庭用电220V/50Hz，每0.02秒重复一次
1. 基本定义
对于周期为 \( T \) 的周期信号 \( s(t) \)，其傅里叶级数展开为：
\( s(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)] \)
其中：
- 基频（角频率）：\( \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \) rad/s，表示单位时间内的相位变化量
- 基频（频率）：\( f_0 = \frac{1}{T} \) Hz，表示单位时间内信号重复的次数
- 第n次谐波频率：\( n\omega_0 \) rad/s 或 \( n f_0 \) Hz，是基频的整数倍，表示信号的第n个谐波成分
频率关系实例：
假设信号周期 \( T = 0.02 \) 秒：
- 基频 \( f_0 = \frac{1}{0.02} = 50 \) Hz（每秒重复50次）
- 基频角频率 \( \omega_0 = 2\pi \times 50 = 100\pi \) rad/s ≈ 314 rad/s
- 3次谐波频率 = \( 3 \times 50 = 150 \) Hz（基频的3倍）
- 5次谐波角频率 = \( 5 \times 100\pi = 500\pi \) rad/s ≈ 1570 rad/s
为什么需要谐波？
就像音乐中的和弦，复杂的声音由多个频率组合而成：
- 基波：决定声音的基本音高
- 谐波：决定声音的音色和特点
- 傅里叶级数：数学上分解复杂周期信号的方法
傅里叶级数的物理意义
1. 频谱分析
傅里叶级数将复杂的周期信号分解为：
- 直流分量：\( a_0 \)（信号的均值）
- 基波：频率为 \( f_0 \) 的正弦波
- 谐波：频率为 \( nf_0 \) 的正弦波（\( n = 2, 3, 4, \ldots \)）
2. 幅度谱和相位谱
幅度：\( A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \)
相位：\( \phi_n = \arctan\left(\frac{b_n}{a_n}\right) \)
信号可以表示为：
\( s(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\omega_0 t + \phi_n) \)
3. 功率谱
\( P_n = \frac{a_n^2 + b_n^2}{2} = \frac{A_n^2}{2} \)
总功率：
\( P_{\text{total}} = a_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty} P_n \)
傅里叶级数的收敛条件
1. 狄利克雷条件
傅里叶级数收敛的充分条件：
- 周期性：\( s(t) = s(t+T) \)
- 有限个极值：在任意有限区间内只有有限个极大值和极小值
- 有限个间断点：在任意有限区间内只有有限个第一类间断点
- 绝对可积：\( \int_{0}^{T} |s(t)| dt < \infty \)
2. 收敛性质
- 在连续点：级数收敛到 \( s(t) \)
- 在间断点：级数收敛到 \( \frac{s(t^+) + s(t^-)}{2} \)
- 在端点：级数收敛到 \( \frac{s(0^+) + s(T^-)}{2} \)
傅里叶级数的性质
1. 线性性质
如果 \( s_1(t) \leftrightarrow \{a_{1,n}, b_{1,n}\} \) 和 \( s_2(t) \leftrightarrow \{a_{2,n}, b_{2,n}\} \)，则：
\( \alpha s_1(t) + \beta s_2(t) \leftrightarrow \{\alpha a_{1,n} + \beta a_{2,n}, \alpha b_{1,n} + \beta b_{2,n}\} \)
2. 时移性质
如果 \( s(t) \leftrightarrow \{a_n, b_n\} \)，则：
\( s(t-t_0) \leftrightarrow \{a_n \cos(n\omega_0 t_0) + b_n \sin(n\omega_0 t_0), b_n \cos(n\omega_0 t_0) - a_n \sin(n\omega_0 t_0)\} \)
3. 尺度变换
如果 \( s(t) \leftrightarrow \{a_n, b_n\} \)，则：
\( s(at) \leftrightarrow \{a_n, b_n\} \)（周期变为 \( T/a \)）
4. 微分性质
如果 \( s(t) \leftrightarrow \{a_n, b_n\} \)，则：
\( \frac{ds(t)}{dt} \leftrightarrow \{-n\omega_0 b_n, n\omega_0 a_n\} \)
5. 积分性质
如果 \( s(t) \leftrightarrow \{a_n, b_n\} \)，则：
\( \int s(t) dt \leftrightarrow \{\frac{b_n}{n\omega_0}, -\frac{a_n}{n\omega_0}\} \)
傅里叶级数详细教程
任何周期信号都可以分解为不同频率正弦波的组合：
\( s(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)] \)
系数计算：
\( a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s(t) dt \)（直流分量）
\( a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s(t) \cos(n\omega_0 t) dt \)
\( b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s(t) \sin(n\omega_0 t) dt \)
方波信号分解实例
方波信号：\( s(t) = \begin{cases} 1 & 0 \leq t < T/2 \\ -1 & T/2 \leq t < T \end{cases} \)
计算步骤：
1. 直流分量 a0 = (1/T)[∫₀ᵀ/² 1 dt + ∫ᵀ/²ᵀ (-1) dt] = 0
2. 余弦分量 an = (2/T)[∫₀ᵀ/² cos(nω₀t) dt - ∫ᵀ/²ᵀ cos(nω₀t) dt] = 0
3. 正弦分量 bn = (2/T)[∫₀ᵀ/² sin(nω₀t) dt - ∫ᵀ/²ᵀ sin(nω₀t) dt]
= { 4/(nπ) n为奇数; 0 n为偶数 }
重建信号：
s(t) ≈ (4/π)[sin(ω₀t) + (1/3)sin(3ω₀t) + (1/5)sin(5ω₀t) + ...]
图：方波信号通过不同频率正弦波合成
物理意义：方波包含基频和所有奇次谐波
傅里叶变换详细教程
非周期信号的频谱分析工具：
\( S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{-j2\pi ft} dt \)
计算步骤：
- 写出积分表达式
- 用欧拉公式展开：\( e^{-j2\pi ft} = \cos(2\pi ft) - j\sin(2\pi ft) \)
- 分别计算实部和虚部积分
- 合并结果
矩形脉冲的傅里叶变换
信号：\( s(t) = \begin{cases} A & |t| \leq \tau/2 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \)
计算：
\( S(f) = \int_{-\tau/2}^{\tau/2} A e^{-j2\pi ft} dt = A\tau \frac{\sin(\pi f \tau)}{\pi f \tau} \)
结果：\( S(f) = A\tau \cdot \text{sinc}(f\tau) \)
物理意义：矩形脉冲的频谱是sinc函数
傅里叶变换详细教程
非周期信号的频谱分析工具：
\( S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{-j2\pi ft} dt \)
计算步骤：
- 写出积分表达式
- 用欧拉公式展开：\( e^{-j2\pi ft} = \cos(2\pi ft) - j\sin(2\pi ft) \)
- 分别计算实部和虚部积分
- 合并结果
矩形脉冲的傅里叶变换
信号：\( s(t) = \begin{cases} A & |t| \leq \tau/2 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \)
计算：
\( S(f) = \int_{-\tau/2}^{\tau/2} A e^{-j2\pi ft} dt = A\tau \frac{\sin(\pi f \tau)}{\pi f \tau} \)
结果：\( S(f) = A\tau \cdot \text{sinc}(f\tau) \)
物理意义：矩形脉冲的频谱是sinc函数
